Một bài toán giải bằng phương pháp chứng minh bài toán phụ

Với mỗi bài toán ta có thể có nhiều cách giải khác nhau, việc sử dụng bài toán phụ cũng là một phương pháp hiệu quả để ta đến nhanh với kết quả hơn. Ở bài viết này gia sư trực tuyến xin giới thiệu tới bạn đọc một bài toán mà khi giải ta dùng bài toán phụ để giải quyết.

Cho: a + b + c  = 5

ab + bc + ca = 8

cmr: 1 ≤ a,b,c ≤ 7/3.

 

Giải:

  • Bổ đề:

Cho : x + y + z = 2                       (1)

và xy + yz + zx = 1             (2)

cmr: x,y,z ≥ 0

 

Từ (1) ta có: y + z = 2 – x

Thay vào (2) ta được:

x(2-x) + yz – 1 = 0

<=> x2 – 2x + 1 – yz = 0

Vì tồn tại x,y,z thỏa mãn (1) và (2) nên (3) tồn tại nghiệm x.

Có: ∆’ = 1 – (1-yz) ≥ 0

ð     yz ≥ 0.

ð     y,z cùng dấu.

Chứng minh tương tự ta có:

x,z cùng dấu.

x,y cùng dấu.

kết hợp với (1) => x,y,z ≥ 0

 

  • cm: 1 ≤ a,b,c.

Ta có: (a – 1)(b – 1) = ab – (a + b) + 1.

(b – 1)(c – 1) = bc – (b + c) + 1.

(c – 1)(a – 1) = ca – (c + a) + 1.

 

Nên:   (a – 1)(b – 1) + (b – 1)(c – 1) + (c – 1)(a – 1)

= (ab + bc + ac) – 2*(a + b + c) + 3

= 8 – 2*5 + 3 = 1                                                       (4)

 

Ta có: a + b + c = 5 =>  (a – 1) + (b – 1) + (c – 1) = 2                 (5)

 

Đặt:        x = a – 1

y = b – 1

z = c – 1

(4) và (5) trở thành:

xy + yz + zx = 1

x + y + z = 2

theo bổ đề thì x,y,z ≥ 0

nên: a – 1 ≥ 0 => a ≥ 1.

Tương tự: b,c ≥ 1.

 

  • cm: a,b,c ≤ 7/3.

Ta có:     (7/3 – a)(7/3 – b) = (7/3)­­2 – 7/3(a + b) + ab.

(7/3 – b)(7/3 – c) = (7/3)­­2 – 7/3(b + c) + bc.

(7/3 – c)(7/3 – a) = (7/3)­­2 – 7/3(c + a) + ca.

 

Nên:   (7/3 – a)(7/3 – b) + (7/3 – b)(7/3 – c) + (7/3 – c)(7/3 – a)

= 3*(7/3)2 – 7/3*2*(a + b + c) + (ab + bc + ca)

= 49/3 – 70/3 +8 = 1                                                           (6)

 

Ta có: 7 – (a + b + c) = (7/3 – a) + (7/3 – b) + (7/3 – c) = 2                   (7)

 

Đặt         x = 7/3 – a

y = 7/3 – b

z = 7/3 – c

(6) và (7) trở thành:

xy + yz + zx = 1

x + y + z = 2

theo bổ đề thì x,y,z ≥ 0

nên: 7/3 – a ≥ 0 => 7/3 ≥ a.

Tương tự: b,c ≤ 7/3.

 

Twitter Delicious Facebook Digg Stumbleupon Wordpress Googlebuzz Myspace Gmail Newsvine Favorites More
You can leave a response, or trackback from your own site.

Leave a Reply